5.2 递归算法：走楼梯会思考的题
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今天来看一道有点意思的题目，有点意思的意思呢，不是说难，而是题目一想好像很难，但是如果找对了解决的思路，就能迎刃而解了。

问题是： >假如这里有 n 个台阶，你可以选择每次完成一个台阶 或者
两个台阶，试问走完这 n 个台阶有多少种走法呢？

举个例子，如果有 7 个台阶，你可以选择 2 - 2 - 2 - 1 走完，也可以选择 2 -
1 - 1 - 1 - 2 走完。

这道题在群里，有人面试的时候被提问过，而正巧的是我在极客时间的
《数据结构与算法之美》 这个课程里学习过。

在往下看答案之前，你可以尝试自己思考如果是你自己来完成这道题目，会有什么思路？

接下来，我就分享一下这个题目的解法。

你可能不会想到这个题目居然可以用递归来解决吧？真的是思路清晰，简单又粗暴。

首先，你跨出的每个第一步，都只有两种选择，要么跨出一个台阶，要么跨出两个台阶。而每个下一步又是一个全新的开始，又面临着两种选择。你看，有点递归的味道了吧？每个过程都是重复的过程。

写递归函数，有两个最重要的点：

-  ``递推公式``\ ：f(n) = f(n-1) + f(n-2)
-  ``终止条件``\ ：f(1) = 1，f(2) = 2

用 Python 写一下：

.. code:: python

   def calc_step_recursion(num):
       if num == 1:
           return 1
       if num == 2:
           return 2

       return calc_step_recursion(num - 1) + \
              calc_step_recursion(num - 2)

计算一下结果有多惊人

::

   calc_step_recursion(10)
   # 89

   calc_step_recursion(20)
   # 10946

如果今天只有这点内容那就太没有诚意了。

让我们尝试着对这个函数进行深度思考，就会发现这个函数会有一些问题。

首先，第一个问题是，这个递归写得虽然简洁，但是却有大量的重复计算。

比如，

.. code:: shell

   f(5) = f(4) + f(3) 
        = f(3) + f(2) + f(3) 
        = f(2) + f(1) + f(2) + f(2) + f(1)

这里面，f(2) 就要运算 3 次，f(1) 要运算 2 次。

当我们的 n 为一个比较大的数时，这个运算过程会浪费很多的时间。

正好之前在看 《流畅的Python》
这本书的时候，学习到了一个非常好用的内置装饰器（\ ``lru_cache``\ ）。它可以将这些函数的运行结果保存下来（其实就是缓存），避免传入重复参数造成重复计算。

.. code:: python

   import functools

   @functools.lru_cache()
   def calc_step_recursion(num):
       if num == 1:
           return 1
       if num == 2:
           return 2

       return calc_step_recursion(num - 1) + \
              calc_step_recursion(num - 2)

来看看加上这个装饰器后，性能到底提升了多少，这里用时间来衡量。

::

   # 不加
   calc_step_recursion(40)
   # time：25.780471086502075 秒

   # 不加
   calc_step_recursion(40)
   # time：0.0001678466796875 秒

第二个问题呢，使用递归的时候，我们都知道递归会出现堆栈溢出的风险。

为了避免这个问题，通常我们会将这个递归实现转换成循环迭代。

::

   def calc_step_loop(num):
       step1 = 1
       step2 = 2
       for step in range(2, num):
           total = step1 + step2
           step2, step1 = total, step2
       return total

使用迭代循环的方式，不仅不会有重复计算的问题，而且又避免出现堆栈溢出的风险。可谓是一举两得。

同样地，也来看一下，它的运行时长，比使用递归的方法可好多了。

::

   calc_step_loop（40）
   # time：0.0000348091125488 秒

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